Muitas áreas da matemática começaram com o estudo de problemas do mundo real, antes das regras e conceitos subjacentes serem identificados e definidos como estruturas abstratas. Por exemplo, a geometria tem suas origens no cálculo de distâncias e áreas no mundo real; a álgebra começou com métodos de resolução de problemas em aritmética.
Abstração é um processo contínuo na matemática e o desenvolvimento histórico de muitos tópicos matemáticos exibe uma progressão do concreto para o abstrato. Por exemplo, os primeiros passos na abstração da geometria foram historicamente feitos pelos antigos gregos, sendo os Elementos de Euclides a mais antiga documentação existente dos axiomas da geometria plana – embora Proclus fale de uma axiomatização anterior por Hipócrates de Chios. No século XVII, Descartes introduziu as coordenadas cartesianas que permitiram o desenvolvimento da geometria analítica. Outros passos na abstracção foram dados por Lobachevsky, Bolyai, Riemann e Gauss, que generalizaram os conceitos de geometria para desenvolver geometrias não-Euclidianas. Mais tarde no século XIX, os matemáticos generalizaram ainda mais a geometria, desenvolvendo áreas como a geometria em n dimensões, geometria projetiva, geometria afim e geometria finita. Finalmente, o “programa Erlangen” de Felix Klein identificou o tema subjacente a todas estas geometrias, definindo cada uma delas como o estudo das propriedades invariantes sob um determinado grupo de simetrias. Este nível de abstração revelou conexões entre geometria e álgebra abstrata.
Na matemática, a abstração pode ser vantajosa das seguintes maneiras:
- Revela conexões profundas entre diferentes áreas da matemática.
- Resultados conhecidos em uma área podem sugerir conjecturas em outra área relacionada.
- Técnicas e métodos de uma área podem ser aplicados para provar resultados em outras áreas relacionadas.
- Padrões de um objeto matemático podem ser generalizados para outros objetos similares na mesma classe.
Por outro lado, a abstração também pode ser desvantajosa, pois conceitos altamente abstratos podem ser difíceis de aprender. Um grau de maturidade matemática e experiência pode ser necessário para a assimilação conceitual das abstrações. Como tal, um dos princípios subjacentes à abordagem Montessori da educação matemática é encorajar as crianças a passar de exemplos concretos para o pensamento abstrato.
Bertrand Russell, em The Scientific Outlook (1931), escreve que “A linguagem comum é totalmente inadequada para expressar o que a física realmente afirma, uma vez que as palavras da vida cotidiana não são suficientemente abstratas. Só a matemática e a lógica matemática podem dizer tão pouco quanto o físico quer dizer”