Equações quadráticas

Reformatar a entrada :

Alterações feitas à sua entrada não devem afectar a solução:
(1): “x2” foi substituído por “x^2”.

Step by step solution :

Trying to factor by splitting the middle term

1.1 Factoring x2-2x-40
O primeiro termo é, x2 o seu coeficiente é 1 .
O médio termo é, -2x o seu coeficiente é -2 .
O último termo, “a constante”, é -40
Passo-1 : Multiplique o coeficiente do primeiro termo pela constante 1 – -40 = -40
Passo-2 : Encontre dois fatores de -40 cuja soma é igual ao coeficiente do termo médio, que é -2 .

Observação : Não se encontram dois fatores deste tipo !
Conclusão : Trinomial não pode ser factorado

Equação no fim do passo 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Passo 2 :

Parabola, Encontrar o Vértice :

2.1 Encontrar o Vértice de y = x2-2x-40
Parabolas tem um ponto mais alto ou mais baixo chamado Vértice . A nossa parábola abre-se e consequentemente tem um ponto mais baixo (AKA mínimo absoluto) . Sabemos isso mesmo antes de plotar “y”, pois o coeficiente do primeiro termo, 1 , é positivo (maior que zero).
Cada parábola tem uma linha vertical de simetria que passa pelo seu vértice. Devido a esta simetria, a linha de simetria passaria, por exemplo, pelo ponto médio dos dois x -interceitos (raízes ou soluções) da parábola. Ou seja, se a parábola tiver de facto duas soluções reais.
As parábolas podem modelar muitas situações da vida real, como a altura acima do solo, de um objeto lançado para cima, após algum período de tempo. O vértice da parábola pode nos fornecer informações, como a altura máxima que o objeto, jogado para cima, pode alcançar. Por este motivo, queremos poder encontrar as coordenadas do vértice.
Para qualquer parábola,Ax2+Bx+C,a coordenada x do vértice é dada por -B/(2A) . No nosso caso a coordenada x é 1,0000
Plugando na fórmula da parábola 1,0000 para x podemos calcular a -coordenada y :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 40,0
ou y = -41.000

Parábola, Vértice Gráfico e Intercepções X :

Plotagem de raiz para : y = x2-2x-40
Eixo de Simetria (tracejado) {x}={ 1,00}
Vertex a {x,y} = { 1,00,-41,00}
x -Intercepções (Raízes) :
Raízes 1 em {x,y} = {-5.40, 0.00}
Root 2 a {x,y} = { 7,40, 0,00}

Solver Equação Quadrática completando o quadrado

2.2 Resolvendo x2-2x-40 = 0 completando o quadrado .
Adicionar 40 para ambos os lados da equação :
x2-2x = 40
Agora o bit inteligente: Pegue o coeficiente de x , que é 2 , divida por dois, dando 1 , e finalmente quadrado dando 1
Adicionar 1 aos dois lados da equação :
No lado direito temos :
40 + 1 ou, (40/1)+(1/1)
O denominador comum das duas frações é 1 Adicionando (40/1)+(1/1) dá 41/1
Então adicionando aos dois lados finalmente obtemos :
x2-2x+1 = 41
Adicionando 1 completou o lado esquerdo num quadrado perfeito :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
As coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais umas às outras. Desde
x2-2x+1 = 41 e
x2-2x+1 = (x-1)2
então, de acordo com a lei da transitividade,
(x-1)2 = 41
A Equação é Eq. #2.2.1
O Princípio da Raiz Quadrada diz que Quando duas coisas são iguais, suas raízes quadradas são iguais,
Nota que a raiz quadrada de
(x-1)2 é
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Agora, aplicando o Princípio da Raiz Quadrada a Eq. #2.2.1 obtemos:
x-1 = √ 41
Adicionar 1 aos dois lados para obter:
x = 1 + √ 41
Desde que uma raiz quadrada tem dois valores, um positivo e outro negativo
x2 – 2x – 40 = 0
tem duas soluções:
x = 1 + √ 41
x ou
x = 1 – √ 41

Equação Quadrática da Solução usando a Fórmula Quadrática

2.3 Resolvendo x2-2x-40 = 0 pela Fórmula Quadrática .
De acordo com a Fórmula Quadrática, x , a solução para Ax2+Bx+C = 0 , onde A, B e C são números, muitas vezes chamados de coeficientes, é dada por :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
No nosso caso, A = 1
B = -2
C = -40
Segundo, B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Aplicando a fórmula quadrática :
2 ± √ 164
x = —–
2
Can √ 164 pode ser simplificado ?
Sim! A factorização principal de 164 é
2-2-41
Para poder remover algo do radical, tem de haver 2 instâncias dele (porque estamos a tomar um quadrado ou seja, uma segunda raiz).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , arredondado a 4 dígitos decimais, é 6.4031
> Então agora estamos olhando:
x = ( 2 ± 2 – 6,403 ) / 2
Duas soluções reais:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
ou:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5,403

Duas soluções foram encontradas :