Intervalos de Tolerância

Intervalos de Tolerância

Esta secção contém detalhes estatísticos para intervalos de tolerância unidireccionais e bidireccionais.

Intervalos de distribuição normal

Intervalo unilateral

O intervalo unilateral é calculado da seguinte forma:

where

s é o desvio padrão

t é o quantil a partir do nãodistribuição t central

Φ-1 é o quantil normal padrão

Intervalo bilateral

O intervalo bilateral é calculado da seguinte forma:

onde s é o desvio padrão e g(1-α/2; p,n) é uma constante.

Para determinar g, considere a fração da população capturada pelo intervalo de tolerância. Tamhane e Dunlop (2000) dão essa fração da seguinte forma:

onde Φ denota o cdf normal padrão (função de distribuição cumulativa).

>Por isso, g resolve a seguinte equação:

Onde 1 – γ é a fração de todas as observações futuras contidas no intervalo de tolerância.

Para mais informações sobre intervalos de tolerância baseados na distribuição normal, veja as Tabelas J.1a, J.1b, J.6a e J.6b de Meeker et al. (2017).

Intervalos não-paramétricos

Limite inferior unilateral

O limite inferior de tolerância de 100(1 – α)% unilateral para conter pelo menos uma proporção β da distribuição amostrada de uma amostra de tamanho n é a estatística de ordem x(l). O índice l é calculado da seguinte forma:

onde Φ-1bin(1-α, n, β) é o (1 – α)o quantil da distribuição binomial com n ensaios e probabilidade de sucesso β.

O nível de confiança real é calculado como Φbin(n-l, n, β), onde Φbin(x, n, β) é a probabilidade de uma variável aleatória binomial distribuída com n tentativas e probabilidade de sucesso β sendo menor ou igual a x.

Limite superior unilateral

O limite superior de tolerância unilateral 100(1 – α)% para conter pelo menos uma proporção β da distribuição amostrada de uma amostra de tamanho n é a estatística de ordem x(u). O índice u é calculado da seguinte forma:

onde Φ-1bin(1-α, n, β) é o (1 – α)o quantil da distribuição binomial com n ensaios e probabilidade de sucesso β.

O nível de confiança real é calculado como Φbin(u-1, n, β), onde Φbin(x, n, β) é a probabilidade de uma variável aleatória binomial distribuída com n ensaios e probabilidade de sucesso β ser menor ou igual a x.

Intervalo bilateral

O intervalo de tolerância bilateral 100(1 – α)% para conter pelo menos uma proporção β da distribuição da amostra de uma amostra de tamanho n é calculado da seguinte forma:

onde x(i) é a estatística da ordem ith e l e u são computados da seguinte forma:

Let ν = n – Φ-1bin(1-α, n, β), onde Φ-1bin(1-α, n, β) é o (1 – α)o quantil da distribuição binomial com n ensaios e probabilidade de sucesso β. Se ν for inferior a 2, não é possível calcular um intervalo de tolerância sem distribuição em dois lados. Se ν for maior ou igual a 2, l = piso(ν/2) e u = piso(n + 1 – ν/2).

O nível de confiança real é calculado como Φbin(u-l-1, n, β), onde Φbin(x, n, β) é a probabilidade de uma variável aleatória binomial distribuída com n tentativas e probabilidade de sucesso β sendo menor ou igual a x.

Nota que para calcular um intervalo de tolerância sem distribuição em dois lados, o tamanho da amostra n deve ser pelo menos tão grande quanto o n na seguinte equação:

Para mais informações sobre intervalos de tolerância sem distribuição, ver Meeker et al. (2017, seg. 5.3).