Subamostragem

As transformações de Fourier das funções com valor real são simétricas em torno do eixo 0 Hz. Após a amostragem, apenas uma soma periódica da transformada de Fourier (chamada de transformada de Fourier de tempo discreto) ainda está disponível. As cópias individuais com mudança de frequência da transformada original são chamadas de pseudônimos. O desvio de frequência entre aliases adjacentes é a taxa de amostragem, denotada por fs. Quando os aliases são mutuamente exclusivos (espectralmente), a transformada original e a função contínua original, ou uma versão com frequência deslocada da mesma (se desejado), pode ser recuperada das amostras. O primeiro e terceiro gráficos da Figura 1 representam um espectro de banda de base antes e depois de ser amostrado a uma taxa que separa completamente os aliases.

O segundo gráfico da Figura 1 representa o perfil de frequência de uma função de passagem de banda que ocupa a banda (A, A+B) (azul sombreado) e sua imagem de espelho (bege sombreado). A condição para uma taxa de amostragem não destrutiva é que os aliases de ambas as bandas não se sobreponham quando deslocados por todos os múltiplos inteiros de fs. O quarto gráfico mostra o resultado espectral da amostragem à mesma taxa que a função da banda de base. A taxa foi escolhida encontrando a taxa mais baixa que é um sub-múltiplo inteiro de A e também satisfaz o critério da banda de base Nyquist: fs > 2B. Consequentemente, a função bandpass foi efetivamente convertida para banda de base. Todas as outras taxas que evitam a sobreposição são dadas por estes critérios mais gerais, onde A e A+B são substituídos por fL e fH, respectivamente:

2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\i1}{\i1}displaystyle {\i1}frac {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}leq f_s}leq {\i}frac

, para qualquer número inteiro satisfatório:

> O n mais alto para o qual a condição é satisfeita leva à menor taxa de amostragem possível.

Os sinais importantes deste tipo incluem uma frequência intermédia de rádio (IF), sinal de radiofrequência (RF) e os canais individuais de um banco de filtros.

Se n > 1, então as condições resultam no que às vezes é referido como subamostragem, amostragem de passagem de banda, ou usando uma taxa de amostragem inferior à taxa de Nyquist (2fH). Para o caso de uma dada frequência de amostragem, fórmulas mais simples para as restrições na banda espectral do sinal são dadas abaixo.

Espectro da banda de rádio FM (88-108 MHz) e sua faixa de base, conhecida como amostragem abaixo de 44 MHz (n = 5). É necessário um filtro anti-alias bastante apertado para a banda de rádio FM, e não há espaço para estações em canais de expansão próximos como 87,9 sem aliasing.

Espectro da banda de rádio FM (88-108 MHz) e sua faixa de base com amostragem abaixo de 56 MHz (n = 4), mostrando muito espaço para bandas de transição do filtro anti-aliasing da banda de rádio FM. A imagem da banda de base é invertida em freqüência neste caso (mesmo n).

Exemplo: Considere o rádio FM para ilustrar a idéia de subamostragem. Nos EUA, o rádio FM opera na banda de frequência de fL = 88 MHz a fH = 108 MHz. A largura de banda é dada por W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\\\\\\\i1}mathrm =20\i}mathrm }

As condições de amostragem são satisfeitas para 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ 1\floor 5.4\rfloor = 108\floor esquerda\floor 108\mathrm\floor \mais de 20mathrm. Certo…} \acima de 20mathrm. O valor n = 5 dá o menor intervalo de frequências de amostragem 43,2 M H z < f s < 44 M H z {\i1}displaystyle 43,2 {\i}mathrm {MHz} <f_mathrm {s}<44}mathrm {MHz} } Neste caso, o espectro do sinal cabe entre 2 a 2,5 vezes a taxa de amostragem (superior a 86,4-88 MHz mas inferior a 108-110 MHz). Um valor mais baixo de n também levará a uma taxa de amostragem útil. Por exemplo, utilizando n = 4, o espectro da banda FM encaixa facilmente entre 1,5 e 2,0 vezes a taxa de amostragem, para uma taxa de amostragem próxima de 56 MHz (múltiplos da frequência Nyquist sendo 28, 56, 84, 112, etc.). Veja as ilustrações à direita. Ao subamostragem de um sinal do mundo real, o circuito de amostragem deve ser suficientemente rápido para capturar a maior frequência de sinal de interesse. Teoricamente, cada amostra deve ser tomada durante um intervalo infinitesimalmente curto, mas isto não é praticamente viável. Ao invés disso, a amostragem do sinal deve ser feita em um intervalo curto o suficiente para que possa representar o valor instantâneo do sinal com a freqüência mais alta. Isto significa que no exemplo de rádio FM acima, o circuito de amostragem deve ser capaz de capturar um sinal com uma frequência de 108 MHz, e não 43,2 MHz. Assim, a frequência de amostragem pode ser apenas um pouco maior do que 43,2 MHz, mas a largura de banda de entrada do sistema deve ser de pelo menos 108 MHz. Da mesma forma, a precisão do tempo de amostragem, ou incerteza de abertura do amostrador, frequentemente o conversor analógico-digital, deve ser apropriada para as freqüências amostradas 108MHz, e não para a menor taxa de amostragem. Se o teorema de amostragem for interpretado como exigindo o dobro da freqüência mais alta, então a taxa de amostragem necessária seria suposta ser maior que a taxa de Nyquist 216 MHz. Embora isto satisfaça a última condição sobre a taxa de amostragem, é grosseiramente sobreamostragem. Note que se uma banda é amostrada com n > 1, então um filtro passa-banda é necessário para o filtro anti-aliasing, em vez de um filtro passa-banda.

Como vimos, a condição normal da banda de base para amostragem reversível é que X(f) = 0 fora do intervalo: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , Estilo de escrita estilo display Estilo left(-{ -frac 1}{2}}f_{\i1}f_mathrm,{\i}frac 1{\i}f_mathrm {2}},{\i}

e a função de interpolação reconstrutiva, ou resposta de impulso de filtro lowpass, é sincera ( t / T ) . estilo de escrita do operador \esquerda(t/T/T).{\i1}

Para acomodar sub-amostragem, a condição da passagem de banda é que X(f) = 0 fora da união de bandas de frequência positivas e negativas abertas

( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) estilo de jogo à esquerda (-frac), -frac n-1 (2), frac n-1 (2), frac n-1 (2), frac n-1 (3), frac n-1 (4), frac n-1 (5), frac n-1 (5), frac n-1 (6), frac n-1 (6), frac n-1 (6), frac n-1 (6), frac n-1 (6), frac n-1 (7)