Multe domenii ale matematicii au început cu studiul unor probleme din lumea reală, înainte ca regulile și conceptele subiacente să fie identificate și definite ca structuri abstracte. De exemplu, geometria își are originile în calculul distanțelor și suprafețelor din lumea reală; algebra a început cu metode de rezolvare a problemelor de aritmetică.
Abstractizarea este un proces continuu în matematică, iar dezvoltarea istorică a multor subiecte matematice prezintă o progresie de la concret la abstract. De exemplu, primii pași în abstractizarea geometriei au fost făcuți, din punct de vedere istoric, de către grecii antici, Elementele lui Euclid fiind cea mai veche documentație existentă a axiomelor geometriei plane – deși Proclus relatează despre o axiomatizare anterioară realizată de Hipocrate din Chios. În secolul al XVII-lea, Descartes a introdus coordonatele carteziene care au permis dezvoltarea geometriei analitice. Lobachevsky, Bolyai, Riemann și Gauss au făcut alți pași în abstractizare, generalizând conceptele de geometrie pentru a dezvolta geometrii neeuclidiene. Mai târziu, în secolul al XIX-lea, matematicienii au generalizat și mai mult geometria, dezvoltând domenii precum geometria în n dimensiuni, geometria proiectivă, geometria afină și geometria finită. În cele din urmă, „Programul de la Erlangen” al lui Felix Klein a identificat tema care stă la baza tuturor acestor geometrii, definind fiecare dintre ele ca fiind studiul proprietăților invariante în cadrul unui anumit grup de simetrii. Acest nivel de abstractizare a dezvăluit conexiuni între geometrie și algebra abstractă.
În matematică, abstractizarea poate fi avantajoasă în următoarele moduri:
- Ea dezvăluie conexiuni profunde între diferite domenii ale matematicii.
- Rezultatele cunoscute într-un domeniu pot sugera conjecturi într-un alt domeniu înrudit.
- Tehnici și metode dintr-un domeniu pot fi aplicate pentru a demonstra rezultate din alte domenii înrudite.
- Patronii dintr-un obiect matematic pot fi generalizați la alte obiecte similare din aceeași clasă.
Pe de altă parte, abstractizarea poate fi și dezavantajoasă în sensul că conceptele foarte abstracte pot fi dificil de învățat. Un anumit grad de maturitate și experiență matematică poate fi necesar pentru asimilarea conceptuală a abstracțiunilor. Ca atare, unul dintre principiile care stau la baza abordării Montessori a educației matematice este acela de a încuraja copiii să treacă de la exemplele concrete la gândirea abstractă.
Bertrand Russell, în The Scientific Outlook (1931), scrie că „Limbajul obișnuit este total nepotrivit pentru a exprima ceea ce fizica afirmă cu adevărat, deoarece cuvintele din viața de zi cu zi nu sunt suficient de abstracte. Numai matematica și logica matematică pot spune atât de puțin cât vrea să spună fizicianul.”
.