Ecuații pătratice

Reformatarea datelor de intrare :

Modificările făcute la datele de intrare nu ar trebui să afecteze soluția:
(1): „x2” a fost înlocuit cu „x^2”.

Soluția pas cu pas :

Încercarea factorizării prin divizarea termenului din mijloc

1.1 Factorizarea x2-2x-40
Primul termen este, x2 coeficientul său este 1 .
Termenul din mijloc este, -2x coeficientul său este -2 .
Ultimul termen, „constanta”, este -40
Etapa-1 : Înmulțiți coeficientul primului termen cu constanta 1 – -40 = -40
Etapa-2 : Găsiți doi factori ai lui -40 a căror sumă să fie egală cu coeficientul termenului din mijloc, care este -2 .

Observație : Nu se pot găsi doi astfel de factori !!!
Concluzie : Trinomul nu poate fi factorizat

Equația de la sfârșitul pasului 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Pasul 2 :

Paramola, găsirea vârfului :

2.1 Găsește vârful lui y = x2-2x-40
Parabolele au un punct cel mai înalt sau cel mai jos numit Vârf . Parabola noastră se deschide și, în consecință, are un punct cel mai jos (AKA minim absolut) . Știm acest lucru chiar înainte de a trasa „y” deoarece coeficientul primului termen, 1 , este pozitiv (mai mare decât zero).
Care parabolă are o linie verticală de simetrie care trece prin vertexul său. Datorită acestei simetrii, linia de simetrie ar trece, de exemplu, prin punctul median al celor două intersecții x (rădăcini sau soluții) ale parabolei. Adică, dacă parabola are într-adevăr două soluții reale.
Parabolele pot modela multe situații din viața reală, cum ar fi înălțimea deasupra solului, a unui obiect aruncat în sus, după o anumită perioadă de timp. Vârful parabolei ne poate furniza informații, cum ar fi înălțimea maximă pe care acel obiect, aruncat în sus, o poate atinge. Din acest motiv, dorim să putem găsi coordonatele vârfului.
Pentru orice parabolă,Ax2+Bx+C,coordonata x -coordonată a vârfului este dată de -B/(2A) . În cazul nostru, coordonata x este 1,0000
Înlocuind în formula parabolei 1,0000 pentru x, putem calcula coordonata y :
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 * 1.00 – 2.0 * 1.00 – 40.0
sau y = -41.000

Parabolă, reprezentarea grafică a vârfului și a intersecțiilor X :

Traiect de rădăcină pentru : y = x2-2x-40
Axa de simetrie (punctată) {x}={ 1.00}
Vertex la {x,y} = { 1.00,-41.00}.
x -Intercepte (Rădăcini) :
Rădăcina 1 la {x,y} = {-5.40, 0.00}
Rădăcina 2 la {x,y} = {7.40, 0.00}

Rezolvarea ecuației pătratice prin completarea pătratului

2.2 Rezolvarea x2-2x-40 = 0 prin completarea pătratului .
Adaugați 40 la ambele părți ale ecuației :
x2-2x = 40
Acum urmează partea inteligentă: Se ia coeficientul lui x , care este 2 , se împarte la doi, dând 1 , și în final se ridică la pătrat dând 1
Se adaugă 1 la ambele părți ale ecuației :
În partea dreaptă avem :
40 + 1 sau, (40/1)+(1/1)
Dominatorul comun al celor două fracții este 1 Adăugând (40/1)+(1/1) rezultă 41/1
Acum adăugând la ambele părți obținem în final :
x2-2x+1 = 41
Să adăugăm 1 a completat partea stângă într-un pătrat perfect :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Celelalte lucruri care sunt egale cu același lucru sunt, de asemenea, egale între ele. Deoarece
x2-2x+1 = 41 și
x2-2x+1 = (x-1)2
atunci, conform legii tranzitivității,
(x-1)2 = 41
Ne vom referi la această Ecuație ca Ecuația. #2.2.1
Principiul rădăcinii pătrate spune că atunci când două lucruri sunt egale, rădăcinile lor pătrate sunt egale.
Rețineți că rădăcina pătrată a lui
(x-1)2 este
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Acum, aplicând principiul rădăcinii pătrate la Ec. #2.2.1 obținem:
x-1 = √ 41
Să adăugăm 1 la ambele părți pentru a obține:
x = 1 + √ 41
Din moment ce o rădăcină pătrată are două valori, una pozitivă și cealaltă negativă
x2 – 2x – 40 = 0
are două soluții:
x = 1 + √ 41
sau
x = 1 – √ 41

Solvați ecuația pătratică folosind formula pătratică

2.3 Rezolvarea x2-2x-40 = 0 cu ajutorul formulei pătratice .
Potrivit formulei pătratice, x , soluția pentru Ax2+Bx+C = 0 , unde A, B și C sunt numere, adesea numite coeficienți, este dată de :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
În cazul nostru, A = 1
B = -2
C = -40
În mod corespunzător, B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Aplicând formula pătratică :
2 ± √ 164
x = —–
2
Se poate simplifica √ 164 ?
Da ! Factorizarea primă a lui 164 este
2-2-41
Pentru a putea elimina ceva de sub radical, trebuie să existe 2 instanțe ale acestuia (pentru că luăm un pătrat, adică rădăcina a doua).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41
√ 41 , rotunjit la 4 cifre zecimale, este 6.4031
Acum avem în vedere:
x = ( 2 ± 2 – 6,403 ) / 2
Două soluții reale:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
sau:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5.403

S-au găsit două soluții:

.