Probabilitatea a priori are o aplicație importantă în mecanica statistică. Versiunea clasică este definită ca fiind raportul dintre numărul de evenimente elementare (de exemplu, numărul de aruncări ale unui zar) și numărul total de evenimente – și acestea considerate în mod pur deductiv, adică fără niciun experiment. În cazul zarului, dacă îl privim pe masă fără să-l aruncăm, fiecare eveniment elementar este raționalizat deductiv pentru a avea aceeași probabilitate – astfel, probabilitatea fiecărui rezultat al unei aruncări imaginare a zarului (perfect) sau prin simpla numărare a numărului de fețe este de 1/6. Fiecare față a zarului apare cu aceeași probabilitate – probabilitatea fiind o măsură definită pentru fiecare eveniment elementar. Rezultatul este diferit dacă aruncăm zarul de douăzeci de ori și întrebăm de câte ori (din 20) apare numărul 6 pe fața superioară. În acest caz, intervine timpul și avem un alt tip de probabilitate în funcție de timp sau de numărul de aruncări ale zarului. Pe de altă parte, probabilitatea a priori este independentă de timp – vă puteți uita la zarul de pe masă cât timp doriți fără să-l atingeți și puteți deduce că probabilitatea ca numărul 6 să apară pe fața superioară este 1/6.
În mecanica statistică, de exemplu cea a unui gaz conținut într-un volum finit V {\displaystyle V}
, atât coordonatele spațiale q i {\displaystyle q_{i}}
, cât și coordonatele de moment p i {\displaystyle p_{i}}.
ale elementelor individuale ale gazului (atomi sau molecule) sunt finite în spațiul de fază delimitat de aceste coordonate. Prin analogie cu cazul zarului, probabilitatea a priori este aici (în cazul unui continuum) proporțională cu elementul de volum al spațiului de fază Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}
împărțită la h {\displaystyle h}
, și este numărul de unde staționare (adică de stări) pe care le conține, unde Δ q {\displaystyle \Delta q}
este intervalul variabilei q {\displaystyle q}
și Δ p {\displaystyle \Delta p}
este intervalul variabilei p {\displaystyle p}.
(considerată aici, pentru simplificare, într-o singură dimensiune). În 1 dimensiune (lungime L {\displaystyle L}
), acest număr sau pondere statistică sau ponderare a priori este L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}.
. În 3 dimensiuni obișnuite (volum V {\displaystyle V}
) numărul corespunzător poate fi calculat ca fiind V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}}.
. Pentru a înțelege această cantitate ca dând un număr de stări în mecanica cuantică (adică ondulatorie), reamintim că în mecanica cuantică fiecare particulă este asociată cu o undă de materie care este soluția unei ecuații Schrödinger. În cazul particulelor libere (de energie ϵ = p 2 / 2 m {\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}^{2}/2m}
) precum cele ale unui gaz într-o cutie de volum V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}.
o astfel de undă de materie este în mod explicit ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L)}
,
unde l , m , n {\displaystyle l,m,n}
sunt numere întregi. Numărul de numere diferite ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)}
valori și deci stări în regiunea cuprinsă între p , p + d p , p 2 = p 2 , {\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}
se constată apoi că este expresia de mai sus V 4 π p 2 d p 2 d p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}}.
prin luarea în considerare ariei acoperite de aceste puncte. Mai mult, având în vedere relația de incertitudine, care în 1 dimensiune spațială este Δ q Δ p ≥ h {\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h}
,
aceste stări sunt imposibil de distins (adică aceste stări nu poartă etichete). O consecință importantă este un rezultat cunoscut sub numele de teorema lui Liouville, și anume independența în timp a acestui element de volum al spațiului de fază și, prin urmare, a probabilității a priori. O dependență în timp a acestei cantități ar implica informații cunoscute despre dinamica sistemului și, prin urmare, nu ar fi o probabilitate a priori. Astfel, regiunea
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {\displaystyle \Omega :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}}},\;\;\;\;\int \Delta q\Delta p=const..,}
când este diferențiat în raport cu timpul t {\displaystyle t}
rezultă zero (cu ajutorul ecuațiilor lui Hamilton): Volumul la momentul t {\displaystyle t}
este același ca la momentul zero. Se descrie acest lucru și ca o conservare a informației.
În teoria cuantică completă se are o lege de conservare analogă. În acest caz, regiunea spațiului de fază este înlocuită cu un subspațiu al spațiului stărilor exprimat în termenii unui operator de proiecție P {\displaystyle P}
, iar în locul probabilității în spațiul de fază, se are densitatea de probabilitate Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{TrP}}},\;\;\;N=TrP=const.,}
unde N {\displaystyle N}
este dimensionalitatea subspațiului. Legea de conservare în acest caz este exprimată prin unitaritatea matricei S. În ambele cazuri, considerațiile presupun un sistem izolat închis. Acest sistem izolat închis este un sistem cu (1) o energie fixă E {\displaystyle E}.
și (2) un număr fix de particule N {\displaystyle N}
în (c) o stare de echilibru. Dacă se consideră un număr foarte mare de replici ale acestui sistem, se obține ceea ce se numește un „ansamblu microcanonic´´. Pentru acest sistem se postulează în statistica cuantică „postulatul fundamental al probabilităților egale a priori ale unui sistem izolat´´. Acesta spune că sistemul izolat în echilibru ocupă fiecare dintre stările sale accesibile cu aceeași probabilitate. Acest postulat fundamental ne permite deci să echivalăm probabilitatea a priori cu degenerarea unui sistem, adică cu numărul de stări diferite cu aceeași energie.