Transformatele Fourier ale funcțiilor cu valori reale sunt simetrice în jurul axei 0 Hz. După eșantionare, mai este disponibilă doar o însumare periodică a transformării Fourier (numită transformată Fourier în timp discret). Copiile individuale decalate în frecvență ale transformării originale se numesc alias-uri. Decalajul de frecvență dintre aliasurile adiacente este rata de eșantionare, notată cu fs. În cazul în care aliasurile se exclud reciproc (din punct de vedere spectral), transformarea originală și funcția continuă originală sau o versiune cu frecvență decalată a acesteia (dacă se dorește) pot fi recuperate din eșantioane. Primul și al treilea grafic din figura 1 descriu un spectru în bandă de bază înainte și după ce a fost eșantionat la o rată care separă complet aliasurile.
Cel de-al doilea grafic din figura 1 descrie profilul de frecvență al unei funcții trece-banda care ocupă banda (A, A+B) (umbrită în albastru) și imaginea sa în oglindă (umbrită în bej). Condiția pentru o rată de eșantionare nedistructivă este aceea că aliasurile celor două benzi nu se suprapun atunci când sunt decalate cu toți multiplii întregi ai lui fs. Cel de-al patrulea grafic descrie rezultatul spectral al eșantionării la aceeași rată ca și funcția de bandă de bază. Rata a fost aleasă prin găsirea celei mai mici rate care este un submultiplu întreg al lui A și care satisface, de asemenea, criteriul Nyquist pentru banda de bază: fs > 2B. În consecință, funcția de trecere de bandă a fost efectiv convertită în bandă de bază. Toate celelalte frecvențe care evită suprapunerea sunt date de aceste criterii mai generale, în care A și A+B sunt înlocuite cu fL și, respectiv, fH:
2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}}}.
, pentru orice număr întreg n care satisface: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}}\right\rfloor }
Cel mai mare n pentru care este îndeplinită condiția conduce la cele mai mici rate de eșantionare posibile.
Semnale importante de acest tip includ semnalul de frecvență intermediară (IF) al unui radio, semnalul de radiofrecvență (RF) și canalele individuale ale unei bănci de filtre.
Dacă n > 1, atunci condițiile duc la ceea ce se numește uneori subeșantionare, eșantionare trece-bandă sau utilizarea unei rate de eșantionare mai mică decât rata Nyquist (2fH). Pentru cazul unei frecvențe de eșantionare date, mai jos sunt prezentate formule mai simple pentru constrângerile asupra benzii spectrale a semnalului.
Exemplu: Luați în considerare radioul FM pentru a ilustra ideea de subeșantionare. În SUA, radioul FM funcționează în banda de frecvență de la fL = 88 MHz la fH = 108 MHz. Lățimea de bandă este dată de W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz}. }
Condițiile de eșantionare sunt satisfăcute pentru 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \ peste 20\ \ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }
Prin urmare, n poate fi 1, 2, 3, 4 sau 5. Valoarea n = 5 dă cel mai mic interval de frecvențe de eșantionare 43,2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz} }
și acesta este un scenariu de subeșantionare. În acest caz, spectrul semnalului se încadrează între 2 și 2,5 ori rata de eșantionare (mai mare de 86,4-88 MHz, dar mai mică de 108-110 MHz). O valoare mai mică a lui n va conduce, de asemenea, la o rată de eșantionare utilă. De exemplu, folosind n = 4, spectrul benzii FM se potrivește ușor între 1,5 și 2,0 ori rata de eșantionare, pentru o rată de eșantionare apropiată de 56 MHz (multiplii frecvenței Nyquist fiind 28, 56, 84, 112 etc.). A se vedea ilustrațiile din dreapta. Atunci când se subeșantionează un semnal din lumea reală, circuitul de eșantionare trebuie să fie suficient de rapid pentru a capta cea mai înaltă frecvență a semnalului de interes. Teoretic, fiecare eșantion ar trebui să fie prelevat în timpul unui interval infinitezimal de scurt, dar acest lucru nu este fezabil din punct de vedere practic. În schimb, eșantionarea semnalului trebuie să se facă într-un interval suficient de scurt pentru a putea reprezenta valoarea instantanee a semnalului cu cea mai mare frecvență. Aceasta înseamnă că, în exemplul radio FM de mai sus, circuitul de eșantionare trebuie să fie capabil să capteze un semnal cu o frecvență de 108 MHz, nu de 43,2 MHz. Astfel, frecvența de eșantionare poate fi doar cu puțin mai mare de 43,2 MHz, dar lățimea de bandă de intrare a sistemului trebuie să fie de cel puțin 108 MHz. În mod similar, precizia sincronizării de eșantionare sau incertitudinea deschiderii prelevatorului, în mod frecvent a convertorului analog-digital, trebuie să fie adecvată pentru frecvențele prelevate 108 MHz, nu pentru frecvența de eșantionare mai mică. Dacă teorema de eșantionare este interpretată ca necesitând de două ori frecvența cea mai mare, atunci se presupune că rata de eșantionare necesară ar fi mai mare decât rata Nyquist 216 MHz. Deși acest lucru îndeplinește ultima condiție privind rata de eșantionare, aceasta este extrem de supraeșantionată. Rețineți că, dacă o bandă este eșantionată cu n > 1, atunci este necesar un filtru trece-banda pentru filtrul anti-aliasing, în loc de un filtru trece-jos.
Așa cum am văzut, condiția normală în banda de bază pentru eșantionarea reversibilă este ca X(f) = 0 în afara intervalului: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}
și funcția de interpolare reconstructivă, sau răspunsul la impuls al filtrului trece-jos, este sinc ( t / T ) . {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}
Pentru a ține cont de subeșantionare, condiția de trecere de bandă este ca X(f) = 0 în afara uniunii benzilor deschise de frecvență pozitivă și negativă
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)}
pentru un număr întreg pozitiv n {\displaystyle n\,}
. care include condiția normală de bandă de bază ca în cazul n = 1 (cu excepția faptului că acolo unde intervalele se întâlnesc la frecvența 0, acestea pot fi închise).
Funcția de interpolare corespunzătoare este filtrul trece-banda dat de această diferență de răspunsuri la impulsuri trece-jos:
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)}
.
Pe de altă parte, reconstrucția nu este de obicei obiectivul cu semnale IF sau RF eșantionate. Mai degrabă, secvența de eșantioane poate fi tratată ca eșantioane obișnuite ale semnalului decalat în frecvență până aproape de banda de bază, iar demodularea digitală poate proceda pe această bază, recunoscând oglindirea spectrului atunci când n este par.
Sunt posibile și alte generalizări ale subeșantionării pentru cazul semnalelor cu mai multe benzi și al semnalelor pe domenii multidimensionale (spațiu sau spațiu-timp) și au fost elaborate în detaliu de Igor Kluvánek.
.