josgood4 / Cosmic-Four

Förutsättningar

• Python 3
• pip install inflect
• pip install csv

Varför är 4 ”kosmiskt”?

Interessant nog kommer man alltid fram till siffran 4 om man utför följande procedur (åtminstone i det engelska språket):

1. Börja med ett godtyckligt heltal
2. Skriv ut heltalet i ord
3. Räkna antalet bokstäver i ordformen av talet
4. Turna tillbaka till steg (2) med resultatet från steg (3) och fortsätt tills du kommer fram till 4

För att börja med talet 10 till exempel:

• 10 stavas ”tio”, vilket har 3 bokstäver
• 3 stavas ”tre”, vilket har 5 bokstäver
• 5 stavas ”fem”, vilket har 4 bokstäver
• 4 stavas ”fyra”, vilket har 4 bokstäver
  …

Om du fortsätter att upprepa denna process kommer du alltid att komma fram till talet 4.

4 är ”kosmiskt” eftersom det är det enda tal som har samma antal bokstäver som sitt numeriska värde.

Huvudbevis

Först ska vi visa att detta fungerar med alla positiva tal:

Basfall: 1<=n<=4

Varje tal leder tillbaka till 4:

• 1 -> 3 -> 5 -> 4
• 2 -> 3 -> 5 -> 4
• 3 -> 5 -> 4
• 4 -> 4 -> …

Induktivt steg:

Antag att n>4 och för alla 0<i<n kommer i att leda tillbaka till 4. Betrakta n+1.
För alla n>4 är antalet bokstäver i ordformen av det talet mindre än talets numeriska värde. n+1 kommer alltså att leda till ett mindre (positivt) tal, och genom induktion ett som också leder tillbaka till 4.
QED

För att uttrycka det på ett enklare sätt kommer varje iteration närmare och närmare talet 4 (genom att krympa det tal som iterationen började med). Ett tal kan inte ha ett negativt antal bokstäver (och inte heller noll bokstäver), så detta innebär att processen producerar mindre och mindre positiva heltal tills den till slut producerar antingen en 1, 2, 3 eller 4, som alla leder tillbaka till 4, som visas ovan.

Som för andra specialfall:

• 0 -> 4
• negativa tal -> något positivt tal -> … (som visas ovan) -> 4

Lemma: Bokstavsantal < Numeriskt värde

(för n > 4)

Bokstavsantal vs. Numeriskt värde

Bokstavsantalet ökar betydligt varje gång en ny decimalplats nås, eftersom ytterligare ”hundra”, ”tusen” etc. måste läggas till talets ordform. Denna ökning är inte mer än tjugo bokstäver för varje tiopotens som nås. Bokstavsantalet ökar alltså ungefär logaritmiskt i förhållande till talens numeriska värde, och är således alltid mindre än dess numeriska värde.

Resultat

De följande diagrammen visar resultatet av att utföra ovanstående process en gång per tal från 0 till 100 respektive från 0 till 10000. Som du kan se ökar antalet bokstäver i de stavade versionerna mycket långsamt när siffrorna blir större, vilket ger mer förtroende för idén att varje tal så småningom kommer att återgå till fyra (som förklaras ovan).
(klicka på diagrammen nedan för interaktiva versioner)