Quadratiska ekvationer

Omformatering av inmatningen :

Förändringar som gjorts i din inmatning bör inte påverka lösningen:
(1): ”x2” ersattes med ”x^2”.

Steg för steg-lösning :

försök att faktorisera genom att dela upp den mellersta termen

1.1 Faktorisering av x2-2x-40
Den första termen är, x2 dess koefficient är 1 .
Den mellersta termen är, -2x dess koefficient är -2 .
Den sista termen, ”konstanten”, är -40
Steg-1 : Multiplicera koefficienten för den första termen med konstanten 1 – -40 = -40
Steg-2 : Hitta två faktorer av -40 vars summa är lika med koefficienten för den mellersta termen, som är -2 .

Bemärkning : Det går inte att hitta två sådana faktorer !!!
Slutsats : Trinomialet kan inte faktoriseras

Svenska i slutet av steg 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Steg 2 :

Parabola, hitta hörnet :

2.1 Hitta hörnet till y = x2-2x-40
Paraboler har en högsta eller lägsta punkt som kallas för hörnet . Vår parabel öppnar sig och har följaktligen en lägsta punkt (AKA absolut minimum) . Vi vet detta redan innan vi har plottat ”y” eftersom koefficienten för den första termen, 1 , är positiv (större än noll).
Varje parabel har en vertikal symmetrilinje som går genom dess toppunkt. På grund av denna symmetri skulle symmetrilinjen till exempel gå genom mittpunkten mellan de två x -intercepten (rötterna eller lösningarna) i parabeln. Det vill säga om parabeln verkligen har två reella lösningar.
Paraboler kan modellera många verkliga situationer, t.ex. höjden över marken för ett föremål som kastas uppåt efter en viss tidsperiod. Parabelns spets kan ge oss information, t.ex. den maximala höjd som det föremål som kastas uppåt kan nå. Av denna anledning vill vi kunna hitta koordinaterna för hörnpunkten.
För varje parabel,Ax2+Bx+C,ges x -koordinaten för hörnet av -B/(2A) . I vårt fall är x-koordinaten 1,0000
Om vi använder parabelformeln 1,0000 för x kan vi beräkna y-koordinaten :
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 * 1.00 – 2.0 * 1.00 – 40.0
eller y = -41.000

Parabola, grafering av toppar och X-gränser :

Rotplott för : y = x2-2x-40
Symmetriaxel (streckad) {x}={ 1.00}
Toppen vid {x,y} = { 1.00,-41.00}
x -Interpunkter (rötter) :
Rot 1 vid {x,y} = {-5.40, 0.00}
Rot 2 vid {x,y} = { 7.40, 0.00}

Lös kvadratisk ekvation genom att komplettera kvadraten

2.2 Lösa x2-2x-40 = 0 genom att komplettera kvadraten .
Lägg till 40 på båda sidor av ekvationen :
x2-2x = 40
Nu kommer den smarta biten: Ta koefficienten för x , som är 2, dividera med två, vilket ger 1, och kvadrera den slutligen, vilket ger 1
Addera 1 till båda sidor av ekvationen :
På höger sida har vi :
40 + 1 eller (40/1)+(1/1)
Den gemensamma nämnaren för de två bråken är 1. Addera (40/1)+(1/1) ger 41/1
Så genom att addera till båda sidorna får vi till slut :
x2-2x+1 = 41
Med 1 har vi kompletterat vänster sida till en perfekt kvadrat :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Ting som är lika med samma sak är också lika med varandra. Eftersom
x2-2x+1 = 41 och
x2-2x+1 = (x-1)2
så är, enligt lagen om transitivitet,
(x-1)2 = 41
Vi kallar denna ekvation för ekv. #2.2.1
Kvadratrotsprincipen säger att när två saker är lika, är deras kvadratrötter lika.
Notera att kvadratroten till
(x-1)2 är
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Om vi nu tillämpar kvadratrotsprincipen på ekv. #2.2.1 får vi:
x-1 = √ 41
Tillägg 1 till båda sidor för att få:
x = 1 + √ 41
Då en kvadratrot har två värden, ett positivt och ett negativt
x2 – 2x – 40 = 0
har två lösningar:
x = 1 + √ 41
eller
x = 1 – √ 41

Lös kvadratisk ekvation med hjälp av den kvadratiska formeln

2.3 Lösa x2-2x-40 = 0 med hjälp av den kvadratiska formeln .
Enligt den kvadratiska formeln, x , är lösningen för Ax2+Bx+C = 0 , där A, B och C är tal, ofta kallade koefficienter, given genom :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
I vårt fall är A = 1
B = -2
C = -40
Därmed blir B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Använda den kvadratiska formeln :
2 ± √ 164
x = —–
2
Kan √ 164 förenklas?
Ja! Primfaktoriseringen av 164 är
2-2-2-41
För att kunna ta bort något under radikalen måste det finnas två exemplar av det (eftersom vi tar en kvadrat, dvs. andra roten).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , avrundat till 4 decimaler, är 6.4031
Så nu tittar vi på:
x = ( 2 ± 2 – 6,403 ) / 2
Två verkliga lösningar:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
eller:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5.403

Två lösningar hittades :