Sannolikheten på förhand har en viktig tillämpning inom statistisk mekanik. Den klassiska versionen definieras som förhållandet mellan antalet elementära händelser (t.ex. antalet gånger en tärning kastas) och det totala antalet händelser – och dessa betraktas rent deduktivt, dvs. utan några experiment. I fallet med tärningen, om vi tittar på den på bordet utan att kasta den, resoneras det deduktivt att varje elementär händelse har samma sannolikhet – således är sannolikheten för varje utfall av ett imaginärt kast av den (perfekta) tärningen eller helt enkelt genom att räkna antalet ansikten 1/6. Varje sida på tärningen uppträder med samma sannolikhet – sannolikheten är ett mått som definieras för varje elementär händelse. Resultatet blir annorlunda om vi kastar tärningen tjugo gånger och frågar hur många gånger (av 20) siffran 6 dyker upp på den övre sidan. I detta fall spelar tiden in och vi har en annan typ av sannolikhet beroende på tiden eller antalet gånger tärningen kastas. Å andra sidan är a priori-sannolikheten oberoende av tiden – du kan titta på tärningen på bordet så länge du vill utan att röra den och du kan dra slutsatsen att sannolikheten för att siffran 6 ska dyka upp på den övre sidan är 1/6.
I statistisk mekanik, t.ex. för en gas i en ändlig volym V {\displaystyle V}
, både de spatiala koordinaterna q i {\displaystyle q_{i}}
och impulskoordinaterna p i {\displaystyle p_{i}}
för de enskilda gaselementen (atomer eller molekyler) är ändliga i det fasrum som dessa koordinater täcker. I analogi med fallet med tärningen är den a priori sannolikheten här (i fallet med ett kontinuum) proportionell mot fasrummets volymelement Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}
dividerat med h {\displaystyle h}
, och är antalet stående vågor (dvs. tillstånd) där, där Δ q {\displaystyle \Delta q}
är området för variabeln q {\displaystyle q}
och Δ p {\displaystyle \Delta p}
är intervallet för variabeln p {\displaystyle p}
(här för enkelhetens skull betraktad i en dimension). I 1 dimension (längd L {\displaystyle L}
) är denna siffra eller statistiska vikt eller a priori viktning L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}
. I vanliga 3 dimensioner (volym V {\displaystyle V}
) kan motsvarande antal beräknas till V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}}
. För att förstå att denna kvantitet ger ett antal tillstånd i kvantmekaniken (dvs. vågmekaniken), bör man komma ihåg att i kvantmekaniken är varje partikel förknippad med en materievåg som är lösningen på en Schrödingerekvation. I fallet med fria partiklar (med energi ϵ = p 2 / 2 m {\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}}^{2}/2m}
) som de av en gas i en låda med volym V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
en sådan materievåg är uttryckligen ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L)}
,
varvid l , m , n {\displaystyle l,m,n}
är heltal. Antalet olika ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)}
värden och därmed tillstånd i området mellan p , p + d p , p 2 = p 2 , {\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}
är då ovanstående uttryck V 4 π p 2 d p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}
genom att betrakta det område som dessa punkter täcker. Med tanke på osäkerhetsrelationen, som i en rumslig dimension är Δ q Δ p ≥ h {\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h}
,
är dessa tillstånd omöjliga att särskilja (dvs. dessa tillstånd har inga etiketter). En viktig konsekvens är ett resultat som är känt som Liouvilles sats, dvs. tidsoberoendet för detta volymelement i fasrymden och därmed för a priori-sannolikheten. Ett tidsberoende av denna kvantitet skulle innebära känd information om systemets dynamik, och skulle därför inte vara en a priori-sannolikhet. Således är regionen
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {\displaystyle \Omega :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}},\;\;\;\;\;\int \Delta q\Delta p=const.,}
när den differentieras med avseende på tiden t {\displaystyle t}
ger noll (med hjälp av Hamiltons ekvationer): Volymen vid tiden t {\displaystyle t}
är densamma som vid tiden noll. Man beskriver detta också som bevarande av information.
I den fullständiga kvantteorin har man en analog bevarandelag. I detta fall ersätts fasrumsregionen av ett underrum av tillståndsrummet som uttrycks i termer av en projektionsoperator P {\displaystyle P}
, och i stället för sannolikheten i fasrummet har man sannolikhetstätheten Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{TrP}}},\;\;\;\;N=TrP=const.,}
där N {\displaystyle N}
är underrymdens dimensionalitet. Bevarandelagen i detta fall uttrycks av S-matrisens enhetlighet. I båda fallen utgår övervägandena från ett slutet isolerat system. Detta slutna isolerade system är ett system med (1) en fast energi E {\displaystyle E}
och (2) ett fast antal partiklar N {\displaystyle N}
i (c) ett jämviktstillstånd. Om man betraktar ett stort antal kopior av detta system får man vad som kallas en ”mikrokanonisk ensemble”. Det är för detta system som man inom kvantstatistiken postulerar ”det grundläggande postulatet om lika a priori-sannolikheter för ett isolerat system”. Detta innebär att det isolerade systemet i jämvikt intar alla sina tillgängliga tillstånd med samma sannolikhet. Detta grundläggande postulat gör det därför möjligt för oss att sätta likhetstecken mellan a priori-sannolikheten och systemets degeneration, dvs. antalet olika tillstånd med samma energi.