Fouriertransformerna av realvärdesfunktioner är symmetriska runt 0 Hz-axeln. Efter sampling finns endast en periodisk summering av Fouriertransformen (kallad diskret tids Fouriertransform) kvar. De enskilda frekvensförskjutna kopiorna av den ursprungliga transformationen kallas aliaser. Frekvensförskjutningen mellan intilliggande aliaser är samplingsfrekvensen, som betecknas med fs. När aliaserna är ömsesidigt uteslutande (spektralt) kan den ursprungliga transformationen och den ursprungliga kontinuerliga funktionen, eller en frekvensförskjuten version av den (om så önskas), återställas från proverna. Den första och tredje grafen i figur 1 visar ett basbandsspektrum före och efter sampling med en hastighet som helt separerar aliaserna.
Den andra grafen i figur 1 visar frekvensprofilen för en bandpassfunktion som upptar bandet (A, A+B) (skuggat blått) och dess spegelbild (skuggat beige). Villkoret för en icke-destruktiv samplingsfrekvens är att de båda bandens aliaser inte överlappar varandra när de förskjuts med alla heltalsmultiplar av fs. Den fjärde grafen visar det spektrala resultatet av sampling med samma frekvens som basbandsfunktionen. Frekvensen valdes genom att hitta den lägsta frekvensen som är en hel delmultipel av A och som också uppfyller Nyquist-kriteriet för basbandet: fs > 2B. Följaktligen har bandpassfunktionen i praktiken omvandlats till basband. Alla andra hastigheter som undviker överlappning ges av dessa mer allmänna kriterier, där A och A+B ersätts med fL respektive fH:
2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}}{n-1}}}}
, för varje heltal n som uppfyller: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor }
Den högsta n för vilken villkoret är uppfyllt leder till lägsta möjliga samplingsfrekvens.
Betydelsefulla signaler av detta slag är bland annat en radios mellanfrekvens (IF), radiofrekvenssignal (RF) och de enskilda kanalerna i en filterbank.
Om n > 1 resulterar villkoren i vad som ibland kallas undersampling, bandpass-sampling eller användning av en samplingsfrekvens som är lägre än Nyquistfrekvensen (2fH). För fallet med en given samplingsfrekvens ges enklare formler för begränsningarna av signalens spektralband nedan.
Exempel: Exempel: FM-radio för att illustrera idén om undersampling. I USA är FM-radio verksam i frekvensbandet från fL = 88 MHz till fH = 108 MHz. Bandbredden ges av W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108 \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} }
Provtagningsvillkoren är uppfyllda för 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\loor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }
Därför kan n vara 1, 2, 3, 4 eller 5. Värdet n = 5 ger det lägsta samplingsfrekvensintervallet 43,2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43.2\\mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44 \\mathrm {MHz} }
och detta är ett scenario för underavsnitt. I detta fall passar signalspektrumet mellan 2 och 2,5 gånger samplingsfrekvensen (högre än 86,4-88 MHz men lägre än 108-110 MHz). Ett lägre värde på n leder också till en användbar samplingsfrekvens. Om man till exempel använder n = 4 passar FM-bandspektrumet lätt mellan 1,5 och 2,0 gånger samplingsfrekvensen, vilket ger en samplingsfrekvens nära 56 MHz (multiplar av Nyquistfrekvensen är 28, 56, 84, 112 etc.). Se illustrationerna till höger. När man undersamplar en verklig signal måste samplingskretsen vara tillräckligt snabb för att fånga den högsta signalfrekvensen av intresse. Teoretiskt sett bör varje prov tas under ett oändligt kort intervall, men detta är inte praktiskt genomförbart. Istället bör provtagningen av signalen ske under ett tillräckligt kort intervall för att kunna representera det momentana värdet av signalen med den högsta frekvensen. Detta innebär att i FM-radioexemplet ovan måste samplingskretsen kunna fånga upp en signal med en frekvens på 108 MHz, inte 43,2 MHz. Samplingsfrekvensen kan alltså vara endast lite högre än 43,2 MHz, men systemets ingångsbandbredd måste vara minst 108 MHz. På samma sätt måste noggrannheten i samplingstidpunkten eller osäkerheten i samplaren, ofta den analoga till digitala omvandlaren, vara lämplig för de frekvenser som samplas 108 MHz, inte den lägre samplingsfrekvensen. Om samplingsteoremet tolkas som att det krävs två gånger den högsta frekvensen, skulle den erforderliga samplingsfrekvensen antas vara högre än Nyquistfrekvensen 216 MHz. Detta uppfyller visserligen det sista villkoret för samplingsfrekvensen, men det är en grov överavstampning. Observera att om ett band samplas med n > 1 krävs ett bandpassfilter för antialiasfiltret i stället för ett lågpassfilter.
Som vi har sett är det normala basbandsvillkoret för reversibel sampling att X(f) = 0 utanför intervallet: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}}f_{\mathrm {s} }\right),}
och den rekonstruktiva interpolationsfunktionen, eller lågpassfiltrets impulssvar, är sinc ( t / T ) . {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}
För att tillgodose underavsnittet är bandpassvillkoret att X(f) = 0 utanför föreningen av öppna positiva och negativa frekvensband
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}}f_{{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)}
för något positivt heltal n {\displaystyle n\,}
. vilket inkluderar det normala basbandstillståndet som i fallet n = 1 (förutom att när intervallen möts vid 0-frekvens kan de vara slutna).
Den motsvarande interpolationsfunktionen är bandpassfiltret som ges av denna skillnad mellan lågpassimpulssvar:
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)}
.
Å andra sidan är rekonstruktion vanligtvis inte målet med samplade IF- eller RF-signaler. Snarare kan provsekvensen behandlas som vanliga prov av signalen som frekvensförskjutits till nära basband, och digital demodulering kan fortsätta på den grunden, med erkännande av spektrumspegling när n är jämn.
Fler generaliseringar av undersampling för signaler med flera band är möjliga, och signaler över flerdimensionella domäner (rymd eller rum-tid) och har utarbetats i detalj av Igor Kluvánek.